Jeśli dodatnie ułamki mają takie same mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik. Zatem powyższa nierówność jest fałszywa. Obliczam wartość wyrażenia po lewej stronie nierówności: fałsz. Obliczam wartość wyrażenia po lewej stronie nierówności: Wartości po obu stronach są równe, zatem nierówność jest Rok wydania. 2020. Wydawnictwo. OE Pazdro. Autorzy. Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab. ISBN. 978-83-759-4197-5. Rodzaj książki. Zbiór zadań Określ, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. Dana jest nierówność z niewiadomą . Prawda Fałsz Dla zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór . Dla nierówność jest prawdziwa dla dowolnego . Dla nierówność jest sprzeczna. Dla zbiorem rozwiązań nierówności jest .)Ã 4 )4Ã Þ 4) ' Ì) 4 À ) ) Ã Socjologicznie nierówność społeczną można badać jako problem społeczny, który obejmuje trzy wymiary: warunki strukturalne, wsparcie ideologiczne i reformy społeczne. Warunki strukturalne obejmują rzeczy, które można obiektywnie zmierzyć i które przyczyniają się do nierówności społecznych. Socjologowie badają, w jaki sposób Rozwiązanie zadania z matematyki: Która z poniższych nierówności jest prawdziwa? {A) frac{19}{17}>frac{19}{15}}{B) frac{31}{7} ()^2 + 2 - suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, po wymnożeniu razy (-1) da liczbę ujemną Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonk Wykaż, że prawdziwa jest nierówność. Post autor: celia11 » 20 sie 2013, 08:59. 9aE8. martyśka038 zapytał(a) o 18:25 Która nierówność jest prawdziwa ? Ułamki ; a) dwie piąte >cztery piąte b) jedna szósta dziewięć ósmych d) trzy czwarte 4/5błądb) 1/6 9/88/9 > 1 1/8błądd)3/4 < 3/5błąd 0 0 Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub Kalkulator równań i nierówności pozwala na: rozwiązywanie prostych równań jednej zmiennej oraz prostych nierówności; upraszczanie funkcji jednej lub dwóch zmiennych oraz upraszczanie obliczenia prezentowane są krok po kroku, dzięki czemu możesz dokładnie prześledzić sposób rozwiązania danego równanie lub nierówność do rozwiązania albo wyrażenie do uproszczenia, korzystając z klawiatury lub panelu poniżej. Zobacz również Kalkulator równań i nierówności Czy wiesz, że możesz bez skomplikowanego liczenia wykonać rozwiązywanie równań? Program online Ci to umożliwi. Został stworzony do wykonywania takich działań jak proste równania czy wielomiany. Kalkulator służy również do liczenia nieskomplikowanych nierówności; upraszczania funkcji jednej lub dwóch zmiennych oraz upraszczania wyrażeń. Po prostu wpisz dane i oblicz to! Rozwiązywanie równań - program Oblicz nierówność to jedno z podstawowych zadań do wykonania na lekcji matematyki. Do tego, jak obliczyć równanie, służą wzory, za pomocą których można na przykład wykonać rozwiązywanie równań z ułamkami, rozwiązywanie nierówności wymiernych czy przeprowadzić równanie z dwiema niewiadomymi. Kalkulator nie zwalnia ze zdobycia wiedzy, jak się rozwiązuje nierówności. Stanowi za to niezastąpione wsparcie w nauce takich działań jak: równości i nierówności czy wielomiany. Kalkulator okazuje się też niezastąpiony, gdy nie masz pewności co do uzyskanego wyniku działania albo po prostu brakuje Ci czasu na rozwiązywanie równań. Program online szybko wykona działanie. Jednocześnie pomoże Ci zrozumieć cały proces liczenia. Wszystkie obliczenia (takie jak np. obliczanie niewiadomej) są bowiem prezentowane krok po kroku, dzięki czemu możesz dokładnie prześledzić sposób rozwiązania danego zagadnienia. Jak obliczyć równanie? Korzystając z klawiatury lub panelu wprowadzaj równości i nierówności do rozwiązania albo wyrażenie do uproszczenia. Następnie oblicz to, wybierając przycisk ROZWIĄŻ/UPROŚĆ WYRAŻENIE. Niniejsze narzędzie pozwala na:1) Rozwiązywanie prostych równań jednej zmiennej. Przykładowe równanie możliwe do rozwiązania: 9x + 4 - 3 = 2x2) Rozwiązywanie prostych nierówności. Np. 9,5x/6 + 5,5x > 3⋅(5x - 2)3) Upraszczanie funkcji jednej lub dwóch zmiennych. Np. 2x+(1+4)⋅x lub 2y+(1+4)⋅x+|2|⋅y4) Upraszczanie wyrażeń np. 6⋅10+23⋅(1−4)⋅|-5|5) Działania na ułamkach zwykłych np. 1/3+2/4 Wszystkie obliczenia prezentowane są krok po kroku, dzięki czemu możliwe jest prześledzenie sposobu rozwiązania danego zagadnienia. Ma to szczególne znaczenie podczas nauki rozwiązywania równań i nierówności oraz poznawania zasad przekształceń algebraicznych. W chwili obecnej równania, nierówności i wyrażenia mogą zawierać jedynie następujące operacje:- dodawanie- odejmowanie- mnożenie- dzielenie- potęgowanie- wartość bezwzględna. nierówność jest prawdziwa?A. B. C. D. 2. Watykan jest najmniejszym suwerennym państwem na świecie. Jego powierzchnia wynosi . Oblicz powierzchnię Watykanu w metrach kwadratowych i zapisz wynik w notacji wykładniczej. 3. Oblicz: 4. Podnieś do potęgi: a) b) kotpies12 nierówność jest prawdziwa?C. 2. Watykan jest najmniejszym suwerennym państwem na świecie. Jego powierzchnia wynosi 0,445km2. Oblicz powierzchnię Watykanu w metrach kwadratowych i zapisz wynik w notacji wykładniczej. 0,445km2=445000m2=3. Oblicz: do potęgi: a) b) More Questions From This User See All Co w tym rozdziale?Co to jest równanie ?Równanie – jak je rozwiązać ?Równania – ile rozwiązań może mieć?Co to jest pierwiastek równania ?Układ równańMetoda podstawianiaMetoda przeciwnych współczynnikówMetoda graficznaRównania kwadratoweRównanie kwadratowe prosteRównanie kwadratowe ogólneRównania wykładniczeCo to jest nierówność ?Nierówności kwadratoweNierówności wykładnicze Co to jest równanie ? Równanie – najprościej mówiąc są to dwa wyrażenia algebraiczne, które są połączone ze sobą znakiem równości, np: 5x+3x-6 = 2x-9 Możemy wyróżnić lewą jak i prawą stronę równania. Równanie – jak je rozwiązać ? Rozwiązanie polega na znalezieniu takiej liczby x – niewiadomej, która po podstawieniu, da po prawej i po lewej stronie taki sam wynik, np. (1=1,-4=-4). Żeby rozwiązać równanie, należy przekształcić je w taki sposób, żeby po jednej jego stronie stała tylko sama niewiadoma – x, a po drugiej stronie tylko liczba. Można to osiągnąć na dwa sposoby: – Dodawanie lub odejmowanie od obu stron równania takiej samej liczby (lub wyrażenia z niewiadomą). – Dzielenie lub mnożenie obu stron przez tą samą liczbę. Równania – ile rozwiązań może mieć ? Można spotkać takie, które nie ma rozwiązań (na przykład x^2+9=0).Zdarza się, że ma ich nieskończenie wiele (na przykład x+1=2x+2). Równanie może mieć jedno, ale również wiele rozwiązań. Istnieją jeszcze równania sprzeczne i tożsamościowe. Równania sprzeczne – jest to takie równanie, którego nie spełnia żadna z liczb rzeczywistych. Przykłady równań sprzecznych:√x=-1,x^2+1=0, Równanie tożsamościowe – jest to takie, które ma nieskończenie wiele rozwiązań. Podstawienie pod niewiadomą dowolnej liczby powoduje otrzymanie równania prawdziwego. Przykłady równań tożsamościowych:x=x, x+1=2x+2Co to jest pierwiastek równania? Pierwiastek jest to inaczej jego rozwiązanie.:) Przykład Rozwiążmy przykładowe zadanie:6x-5x−1=2x+5 Rozwiązanie: Na początku uprościmy lewą stronę odejmując wyrażenia z x-em:x−1=2x+5 Teraz przerzućmy wyrażenie 2x z prawej strony na lewą stronę, żeby po prawej stronie pozbyć się wyrażeń z x-em. Natomiast z lewej, przerzućmy -1 na prawą stronę. Ważne!!! – pamiętajmy o zmianach znaków kiedy przerzucamy wyrazy na przeciwne strony równania!!!x-2x-1=5x-2x=5+1 Dokonajmy obliczeń na stronach:-x=6 Po uproszczeniach otrzymujemy powyższe wyrażenie. Teraz dzielimy obie strony przez liczbę -1, żeby po lewej stronie został sam x (ze znakiem dodatnim).x=-6 Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest liczba x=-6. Układ równań Układem równań – nazywamy co najmniej dwa równania połączone w układ za pomocą klamry. W celu znalezienia rozwiązania układu równań, musimy znaleźć takie wartości zmiennych, które po wstawieniu do równań zwracają wyrażenia prawdziwe. Równania możemy podzielić na podstawie ilości rozwiązań, są to: układ sprzeczny – nieposiadający rozwiązań układ oznaczony – posiadający tylko jedno rozwiązanie układ nieoznaczony – posiadający nieskończenie wiele rozwiązań Aby rozwiązywać układ równań możemy wykorzystać następujące metody: – metodę podstawiania – metodę przeciwnych współczynników – metodę wyznaczników – metoda zaawansowana, wykorzystywania na studiach – metodę graficzną Poniżej opiszę trzy najczęściej wykorzystywane: Metoda podstawiania Metoda ta polega na wyliczeniu jednej zmiennej z dowolnego równania i wstawieniu go do drugiego równania. Najlepiej będzie to zobrazować na przykładzie: Mamy do rozwiązania poniższy układ równań: \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Zacznijmy od wyznaczenia z pierwszego równania y, by potem móc podstawić jego wartość do drugiego. \left\{\begin{array}{lr} -y=-2x+3 |*(-1)&\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Teraz możemy podstawić wartość y do drugiego równania: \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+5(2x-3)=11 \end{array}\right. Teraz zostaje wyznaczenie z drugiego równania wartości x. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+5(2x-3)=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 3x+10x-15=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ 13x=26 (|:13) \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ x=2 \end{array}\right. Teraz podstawiamy wyznaczoną wartość x do pierwszego równania: \left\{\begin{array}{lr} y=2*(2)-3 &\\ x=2 \end{array}\right. Tak więc rozwiązaniem układu równań jest para: \left\{\begin{array}{lr} y=1 &\\ x=2 \end{array}\right. Metoda przeciwnych współczynników W celu rozwiązania układu równań tą metoda musimy doprowadzić równania do postaci, gdy przy jednej zmiennej w równaniach znajdują się przeciwne współczynniki. Przykładowo w jednym równaniu przy x mam 3 a w drugim -3. Zastosujmy tę metodę w celu obliczenia tego samego przykładu: \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Aby doprowadzić do tego, by przykładowo przy y była ta sama wartość co w drugim równaniu musimy przemnożyć pierwsze równanie przez 5. \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 |*5 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} 10x-5y=15 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Jeżeli dodamy teraz pierwsze równanie do drugiego, to pozbędziemy się y i w drugim równaniu zostanie tylko x i wyraz wolny. +\underline{ \left\{\begin{array}{lr} 10x-5y=15 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right.} 10x+3x-5y+5y=15+11 13x=26 x=2 Mając wyznaczoną wartość x możemy teraz wybrać do którego równania chcemy tę wartość podstawić. W tym przykładzie łatwiej będzie podstawić ją do pierwszego równani: \left\{\begin{array}{lr} 2*(2)-y=3 &\\ x=2 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} 4-y=3 &\\ x=2 \end{array}\right. Rozwiązaniem jest poniższa para liczb: \left\{\begin{array}{lr} y=1 &\\ x=2 \end{array}\right. Metoda graficzna Ta metoda jest najmniej dokładną, przy rozwiązywaniu układów równań. Polega na narysowaniu wykresu z podanych równań. Na początku należy każdy wzór doprowadzić do postaci y=ax+b, a następnie narysować w układzie współrzędnych. W miejscu przecięcia się prostych znajduje się rozwiązanie układu równań. Wykorzystajmy ten sam przykład w celu rozwiązania układu równań: \left\{\begin{array}{lr} 2x-y=3 &\\ 3x+5y=11 \end{array}\right. Przekształćmy powyższe równania do podanej postaci: \left\{\begin{array}{lr} y=2x-3 &\\ y=-\frac{3}{5}x+\frac{11}{5} \end{array}\right. Narysujmy teraz podane proste na wykresie:Metoda graficznaJak widzimy tutaj również udało się znaleźć punkt przecięcia, który ma współrzędne x = 2 i y = 1 i jest jednocześnie rozwiązaniem układu równań. Równania kwadratowe Różnica między równaniami liniowymi a kwadratowymi jest taka, że w przypadku równań kwadratowych niewiadoma x pojawia się w drugiej potędze, czyli x^2. Równanie kwadratowe proste Proste równania kwadratowe są równaniami typu:x^2=a gdzie: a – to dowolna liczba rzeczywista. W zależności od wartości parametru a, równanie może mieć różną liczbę rozwiązań. Jeżeli a>0, to równanie ma dwa rozwiązania: x=√a oraz x=−√a. Jeżeli a=0, to równanie ma jedno rozwiązanie: x=0. Jeżeli a 0, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:x_1=\frac{−b-√Δ}{2a}x_2=\frac{−b+√Δ}{2a} Jeśli Δ=0, to równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie:x=\frac{−b}{2a} Jeśli Δ )np. 6x+2\frac{3}{2} Przedział liczbowy można zapisać również w ten sposób: x∈(\frac{3}{2},+∞)Równania i nierówności – Przedział liczbowy Ważne!!!– Nierówności liniowe można rozwiązywać praktycznie tak samo jak równania liniowe. Pamiętajmy jednak o tym, że gdy mnożymy lub dzielimy nierówność stronami przez liczbę ujemną, to zmieniamy znak nierówności (tak jak w powyższym przykładzie). Nierówności kwadratowe Jedyna różnica między równaniami kwadratowymi a nierównościami kwadratowymi jest taka, że w równaniach występuje znak "=" i wynikiem jest konkretna para pierwiastków lub jeden pierwiastek. Natomiast w nierównościach kwadratowych występują znaki ,≥ a wynikiem nie jest konkretnie pierwiastek a jakiś zbiór rozwiązań. Czyli, jeżeli mamy taki przykład:x^2+x-12 = 0 gdzie po wyznaczeniu pierwiastków (liczymy normalne równanie kwadratowe więc musimy wyznaczyć deltę, a następnie korzystając ze wzorów na pierwiastki znaleźć odpowiednie rozwiązania) otrzymujemy takie wyniki: x_1 = -4 i x_2 = 3 i jest to ostateczne rozwiązanie. Natomiast jeżeli mamy taki sam przykład ale zamienimy znak "=" na znak nierówności np. ">" wtedy rozwiązaniem jest zbiór liczb:x∈(-∞,-4)∪(3,+∞) (wykonujemy takie same obliczenia jak przy równaniu kwadratowym, czyli liczymy deltę i pierwiastki z dobrze nam znanych wzorów na x_1 i x_2, następnie rysujemy wykres paraboli uwzględniając pierwiastki równania. Sprawdzamy jak skierowane są ramiona paraboli i wyciągamy odpowiednie wnioski podając przedział liczbowy spełniający nierówność):Przykład nierówności Nierówności wykładnicze Nierówność wykładnicza to nierówność, w którym niewiadoma x występuje tylko w wykładniku potęgi. Przykład:5^x≥125 Żeby rozwiązać nierówność wykładniczą, należy obie strony nierówności zapisać w postaci potęgi o tej samej Następnie porównujemy wykładniki:x≥3 ! Pamiętaj ! Jeżeli podstawa potęgi jest ułamkiem mniejszym od 1, to przechodząc do nierówności na wykładnikach należy zmienić znak nierówności na przeciwny. Czyli, jeżeli odrobinę przekształcimy nasz przykład:(\frac{1}{5})^x≥\frac{1}{125}(\frac{1}{5})^x≥(\frac{1}{5})^3x≤3Sprawdź również:Zadania zamknięteĆwiczenia krótkiej odpowiedziZadania otwarte Poniżej prezentuje typy zadań najczęściej pojawiające się na maturze podstawowej z matematyki w nowej formule (od 2015 roku). Pewniaki są aktualne dla najbliższej matury 2022. Polecam również przerobić zadania treningowe od CKE Wśród podanych przykładów znajdują się jedynie wybrane typy zadań. Pełną wiedzę niezbędną do zdania matury na 100% znajdziesz w kursie do matury podstawowej. Szybka nawigacja do zadania numer: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 .Typ I - zadania z potęg i pierwiastków Na maturze bardzo często pojawiają się zadania sprawdzające umiejętność wykonywania działań na potęgach, pierwiastkach. Oto przykłady takich zadań:Liczba \(\frac{4^5\cdot 5^4}{20^4}\) jest równa A.\( 4^4 \) B.\( 20^{16} \) C.\( 20^5 \) D.\( 4 \) DDla każdej dodatniej liczba \(a\) iloraz \(\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}\) jest równy A.\( a^{-3{,}9} \) B.\( a^{-2} \) C.\( a^{-1{,}3} \) D.\( a^{1{,}3} \) ALiczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa A.\( 45^{40} \) B.\( 45^9 \) C.\( 9^4 \) D.\( 5^4 \) DLiczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa A.\( \sqrt{\frac{16}{63}} \) B.\( \frac{16}{3\sqrt{7}} \) C.\( 1 \) D.\( \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} \) BTyp II - procenty Równie często na maturze podstawowej pojawiają się zadania z procentów (zazwyczaj jest jedno takie zadanie za 1 punkt) tego typu:Liczby \(a\) i \(c\) są dodatnie. Liczba \(b\) stanowi \(48\%\) liczby \(a\) oraz \(32\%\) liczby \(c\). Wynika stąd, że A.\( c=1{,}5a \) B.\( c=1{,}6a \) C.\( c=0{,}8a \) D.\( c=0{,}16a \) AButy, które kosztowały \(220\) złotych, przeceniono i sprzedano za \(176\) złotych. O ile procent obniżono cenę butów? A.\( 80 \) B.\( 20 \) C.\( 22 \) D.\( 44 \) BDany jest prostokąt o wymiarach \(40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta się o \( 8\% \) się o \( 4\% \) się o \( 8\% \) się o \( 4\% \) DKwotę \(1000\) zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości \(19\%\). Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa A.\( 1000\cdot \left ( 1+\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) B.\( 1000\cdot \left ( 1-\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) C.\( 1000\cdot \left ( 1-\frac{81}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) D.\( 1000\cdot \left ( 1+\frac{19}{100}\cdot \frac{4}{100} \right ) \) ATyp III - logarytmy Na maturze praktycznie zawsze pojawia się przynajmniej jedno zadanie na liczenie logarytmów. Oto przykładowe zadania:Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa A.\( \frac{3}{2} \) B.\( 2 \) C.\( \frac{5}{2} \) D.\( 3 \) DLiczba \(\frac{\log_3729}{\log_636}\) jest równa A.\( \log_6693 \) B.\( 3 \) C.\( \log_{\frac{1}{2}}\frac{81}{4} \) D.\( 4 \) BDane są liczby \(a=-\frac{1}{27}\), \(b=\log_{\frac{1}{4}}64\), \(c=\log_{\frac{1}{3}}27\). Iloczyn \(abc\) jest równy A.\( 3 \) B.\( \frac{1}{3} \) C.\( -\frac{1}{3} \) D.\( -9 \) CWartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa A.\( -3 \) B.\( -2\frac{1}{4} \) C.\( -2 \) D.\( 0 \) CTyp IV - równania i nierówności liniowe oraz funkcja liniowa Jednym z ważniejszych pojęć na maturze podstawowej jest funkcja liniowa i związane z nią równania oraz nierówności. Zazwyczaj z tego zagadnienia pojawia się na maturze od 2 do 5 zadań. Z funkcji liniowych szczególnie często zdarzają się zdania sprawdzające umiejętność liczenia miejsc zerowych, oraz badanie równoległości i prostopadłości \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\) dokładnie dwa rozwiązania \( x=0 \), \(x=1\) dokładnie jedno rozwiązanie \( x=-1 \) dokładnie jedno rozwiązanie \( x=0 \) dokładnie jedno rozwiązanie \( x=1 \) ARównanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\ne -5\), ma rozwiązań rzeczywistych. dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. ANajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\) jest A.\( -14 \) B.\( -13 \) C.\( 13 \) D.\( 14 \) BNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest A.\( -2 \) B.\( -1 \) C.\( 0 \) D.\( 1 \) CRówność \(\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}\) zachodzi dla A.\( m=-5 \) B.\( m=1 \) C.\( m=4 \) D.\( m=5 \) CDana jest funkcja liniowa \(f(x)=\frac{3}{4}x+6\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A.\( 8 \) B.\( 6 \) C.\( -6 \) D.\( -8 \) DFunkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=2x+b\) ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja \(g(x)=-3x+4\). Stąd wynika, że A.\( b=-\frac{8}{3} \) B.\( b=\frac{4}{3} \) C.\( b=4 \) D.\( b=-\frac{3}{2} \) AWykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych A.\( (0,-3) \) B.\( (-3,0) \) C.\( (0,2) \) D.\( (0,3) \) AProsta \(l\) o równaniu \(y=m^2x+3\) jest równoległa do prostej \(k\) o równaniu \(y=(4m-4)x-3\). Zatem: A.\( m=2 \) B.\( m=-2 \) C.\( m=-2-2\sqrt{2} \) D.\( m=2+2\sqrt{2} \) AProste o równaniach: \(y=2mx-m^2-1\) oraz \(y=4m^2x+m^2+1\) są prostopadłe dla A.\( m=-\frac{1}{2} \) B.\( m=\frac{1}{2} \) C.\( m=1 \) D.\( m=2 \) AProste opisane równaniami \(y=\frac{2}{m-1}x+m-2\) oraz \(y=mx+\frac{1}{m+1}\) są prostopadłe, gdy A.\( m=2 \) B.\( m=\frac{1}{2} \) C.\( m=\frac{1}{3} \) D.\( m=-2 \) CTyp V - równania i nierówności kwadratowe oraz funkcja kwadratowa Zadania związane z funkcją kwadratową, to na każdej maturze punkt obowiązkowy. Musimy umieć znajdować miejsca zerowe funkcji kwadratowej (czyli rozwiązywać równania kwadratowe), wierzchołek oraz zapisywać w różnych postaciach funkcję kwadratową (ogólna, iloczynowa i kanoniczna). Musimy również umieć rysować wykresy funkcji kwadratowej, co szczególnie przydaje się podczas rozwiązywania nierówności kwadratowych (praktycznie zawsze pojawia się na maturze takie zadanie za 2 punkty). Często również pojawiają się zadania na znajdowanie wartości ekstremalnych funkcji kwadratowych na przedziałach domkniętych. Dokładniejsze omówienie tych wszystkich zagadnień znajdziesz w kursie do matury podstawowej (części: 14-15 oraz 26-30), a poniżej przykładowe, najczęstsze typy zadań:Równość \((2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla A.\( a=3 \) B.\( a=1 \) C.\( a=-2 \) D.\( a=-3 \) AOblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+3\) w przedziale \(\langle 0,4\rangle \).\(f_{max}=3\) oraz \(f_{min}=-6\)Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt (x+3)(x-2)\).\(x\in (-\infty ;2)\cup (3;+\infty )\)Rozwiąż nierówność \(2x^2-4x\gt 3x^2-6x\).\(x\in (0;2)\)Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\).\(x\in \langle 2;3\rangle \)Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\)\(x\in (-\infty ,-4\rangle \cup \langle 2,+\infty )\)Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).\(a=-\frac{1}{4}\), \(b=3\), \(c=0\)Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -1;2 \rangle \) jest równa A.\( 2 \) B.\( 5 \) C.\( 8 \) D.\( 9 \) BJeśli funkcja kwadratowa \(f(x)=x^2+2x+3a\) nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba \(a\) spełnia warunek A.\( a\lt -1 \) B.\( -1\le a\lt 0 \) C.\( 0\le a\lt \frac{1}{3} \) D.\( a\gt \frac{1}{3} \) DFunkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=x^2-11x\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle -6,6\rangle \). \(-30\frac{1}{4}\)Typ VI - różne zadania z funkcji Częstym na maturze zdarza się zadanie, w którym należy wyznaczyć zbiór wartości funkcji danej na wykresie, lub odgadnąć przesunięcie. Oto przykładowe takie zadania:Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest A.\( (-2,2\rangle \) B.\( \langle -2,2\rangle \) C.\( \langle -2,2) \) D.\( (-2,2) \) ANa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział A.\( (-\infty ;-2\rangle \) B.\( \langle -2;4 \rangle \) C.\( \langle 4;+\infty ) \) D.\( (-\infty ;9\rangle \) DGdy przesuniemy wykres funkcji \(f(x)=2x-3\) o \(2\) jednostki w prawo i \(4\) jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem A.\( y=2(x-2)+4 \) B.\( y=2(x-2)-4 \) C.\( y=2(x-2)+1 \) D.\( y=2(x+2)+4 \) CFunkcja \(g\) jest określona wzorem A.\( g(x)=f(x-1) \) B.\( g(x)=f(x)-1 \) C.\( g(x)=f(x+1) \) D.\( g(x)=f(x)+1 \) BTyp VII - układy równań Często na maturze jest jedno zadanie z układu równań następujących typów:Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=5 \\ -4x+6y=-10 \end{cases} \) ma rozwiązań. dokładnie jedno rozwiązanie. dokładnie dwa rozwiązania. nieskończenie wiele rozwiązań. DUkład równań \(\begin{cases} x-y=3 \\ 2x+0{,}5y=4 \end{cases} \) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie nieskończony. 2 różne punkty. jeden punkt. pusty. CTyp VIII - wartość bezwzględna i błędy Czasami na maturze jest jedno zadanie z wartości bezwzględnej lub błędów względnych i bezwzględnych. Oto przykładowe zadania jakie mogą się pojawić:Liczba \(\frac{|3-9|}{-3}\) jest równa A.\( 2 \) B.\( -2 \) C.\( 0 \) D.\( -4 \) BW tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. kolejne lata123456 przyrost (w cm)10107887 Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.\(4\%\)Typ IX - trygonometria Zadania z trygonometrii pojawiają się a każdej maturze podstawowej. Oto najczęstsze typy:Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}\). Wtedy A.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26} \) B.\( \sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13} \) C.\( \sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13} \) D.\( \sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13} \) CLiczba \( \sin 150^\circ \) jest równa liczbie A.\( \cos 60^\circ \) B.\( \cos 120^\circ \) C.\( \operatorname{tg} 120^\circ \) D.\( \operatorname{tg} 60^\circ \) ADany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha \) i \(\beta \), w którym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\). Wtedy A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \) B.\( \cos \beta =\frac{\sqrt{6}}{3} \) C.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3} \) D.\( \operatorname{tg} \beta =\frac{\sqrt{6}}{2} \) BDana jest liczba \(a=\sin 72^\circ \). Zapisz liczbę \(1+\operatorname{tg}^2 72^\circ \) w zależności od \(a\).\(\frac{1}{1-a^2}\)Wartość wyrażenia \((\operatorname{tg} 60^\circ +\operatorname{tg} 45^\circ )^2-\sin 60^\circ \) jest równa A.\( 2-\frac{3\sqrt{3}}{2} \) B.\( 2+\frac{\sqrt{3}}{2} \) C.\( 4-\frac{\sqrt{3}}{2} \) D.\( 4+\frac{3\sqrt{3}}{2} \) DW układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha \). Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy: A.\( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) B.\( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \) C.\( \cos \alpha = -\frac{4}{3} \) D.\( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \) BTyp X - ciąg arytmetyczny i geometryczny Zadania z ciągów zawsze pojawiają się na maturze. Zawsze są przynajmniej dwa zadania z tego zagadnienia. Poniżej prezentuję najczęstsze typy zadań z ciągów:Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(\left (-\frac{3}{2}\right )\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy A.\( \frac{37}{2} \) B.\( -\frac{37}{2} \) C.\( -\frac{5}{2} \) D.\( \frac{5}{2} \) AWszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba A.\( 77 \) B.\( 84 \) C.\( 91 \) D.\( 98 \) CW rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy A.\( q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \) B.\( q=\frac{1}{3} \) C.\( q=3 \) D.\( q=\sqrt[3]{3} \) DTrójwyrazowy ciąg \((x+1,x-1,2x)\) jest arytmetyczny dla A.\( x=-3 \) B.\( x=-1 \) C.\( x=0 \) D.\( x=2 \) ACiąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A.\( -4 \) B.\( 1 \) C.\( 0 \) D.\( -1 \) DTyp XI - geometria płaska W geometrii najczęściej przydaje się nam twierdzenie Pitagorasa i musimy je umieć stosować na blachę (jest ono również bardzo przydatne w geometrii przestrzennej). Zadania z geometrii zazwyczaj nie są szablonowe, więc trudno tu podać konkretne typy jako pewniaki. Na pewno można wyróżnić zadania z kątami wpisanymi i środkowymi w okręgu - często się pojawiają na maturze. Także często pojawia się podobieństwo \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Cięciwa \(CD\) przecina średnicę \(AB\) tego okręgu w punkcie \(E\) tak, że \(|\sphericalangle BEC|=100^\circ \). Kąt środkowy \(ASC\) ma miarę \(110^\circ \) (zobacz rysunek). Kąt wpisany \(BAD\) ma miarę A.\( 15^\circ \) B.\( 20^\circ \) C.\( 25^\circ \) D.\( 30^\circ \) CW okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa A.\( 40^\circ \) B.\( 50^\circ \) C.\( 20^\circ \) D.\( 25^\circ \) APrzedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość A.\( 8 \) B.\( 8{,}5 \) C.\( 9{,}5 \) D.\( 10 \) BOkręgi o promieniach \(3\) i \(4\) są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu \(4\) w punkcie \(P\) przechodzi przez środek okręgu o promieniu \(3\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności \(P\), jest równe A.\( 14 \) B.\( 2\sqrt{33} \) C.\( 4\sqrt{33} \) D.\( 12 \) BTyp XII - geometria przestrzenna Zadania ze stereometrii często pojawiają się za większa liczbę podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(\alpha \) o mierze A.\( 30^\circ \) B.\( 45^\circ \) C.\( 60^\circ \) D.\( 75^\circ \) BWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\(P=144+384\sqrt{2}\)Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa. \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(120^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(4\). Objętość tego stożka jest równa A.\( 36\pi \) B.\( 18\pi \) C.\( 24\pi \) D.\( 8\pi \) DTrójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa. \(V=21\sqrt{7}\)Typ XIII - geometria analityczna Z geometrii analitycznej na pewno musimy umieć liczyć długość odcinka, wyznaczać równania prostych przechodzących przez dwa punkty, a także równoległych i prostopadłych, wyznaczać środek odcinka. Oto przykładowe zadania z tych zagadnień:W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(a,6)\) oraz \(B=(7,b)\). Środkiem odcinka \(AB\) jest punkt \(M=(3,4)\). Wynika stąd, że A.\( a=5 \) i \(b=5\) B.\( a=-1 \) i \(b=2\) C.\( a=4 \) i \(b=10\) D.\( a=-4 \) i \(b=-2\) BNa rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną \(AC\) rombu \(ABCD\) oraz wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\) tego rombu. Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego rombu. A.\( y=-\frac{2}{3}x+\frac{11}{3} \) B.\( y=-\frac{3}{2}x+4 \) C.\( y=-x+4 \) D.\( y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2} \) DOkręgi o środkach \(S_1=(3,4)\) oraz \(S_2=(9,-4)\) i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy A.\( 8 \) B.\( 6 \) C.\( 5 \) D.\( \frac{5}{2} \) CW układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta \(AB\) przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).\(x=-7\)Typ XIV - statystyka i rachunek prawdopodobieństwa Ze statystyki najczęściej pojawiają się zadania związane ze średnią arytmetyczną i medianą. Zadania z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa zawsze opierają się na regule mnożenia i dodawania (zadani z kostkami i monetami, losowanie kul lub liczb ze zbioru).Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem A.\( x=-51 \) B.\( x=-6 \) C.\( x=10 \) D.\( x=29 \) AŚrednia arytmetyczna zestawu danych: \[2,4,7,8,9\] jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: \[2,4,7,8,9,x.\] Wynika stąd, że A.\( x=3 \) B.\( x=5 \) C.\( x=6 \) D.\( x=0 \) CŚrednia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa A.\( 26 \) B.\( 27 \) C.\( 28 \) D.\( 29 \) CW każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy A.\( p=\frac{3}{8} \) B.\( p=\frac{1}{4} \) C.\( p=\frac{2}{3} \) D.\( p=\frac{1}{2} \) ARzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy A.\( 0\le p\le 0{,}2 \) B.\( 0{,}2\le p\le 0{,}35 \) C.\( 0{,}35\lt p\le 0{,}5 \) D.\( 0{,}5\lt p\le 1 \) CIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \(3\)? A.\( 12 \) B.\( 24 \) C.\( 29 \) D.\( 30 \) DZe zbioru siedmiu liczb naturalnych \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba \(5\). \(\frac{4}{21}\) Pewniaki na STARĄ podstawę programową Poniżej prezentuję pewniaki do "starej" podstawy programowej. Cena towaru bez podatku VAT jest równa \(60\) zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości \(22\%\) kosztuje A.\( 73{,}20 \) zł B.\( 49{,}18 \) zł C.\( 60{,}22 \) zł D.\( 82 \) zł ASamochód kosztował \(30000\) zł. Jego cenę obniżono o \(10\%\), a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o \(10\%\). Po tych obniżkach samochód kosztował A.\( 24400 \) zł B.\( 24700 \) zł C.\( 24000 \) zł D.\( 24300 \) zł DIloczyn \(81^2\cdot 9^4\) jest równy A.\( 3^4 \) B.\( 3^0 \) C.\( 3^{16} \) D.\( 3^{14} \) CRóżnica \(\log_{3}9-\log_{3}1\) jest równa A.\( 0 \) B.\( 1 \) C.\( 2 \) D.\( 3 \) CWskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej. A.\( |x-1| \lt 3 \) B.\( |x+1| \lt 3 \) C.\( |x+1| > 3 \) D.\( |x-1| > 3 \) BWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x-2| \ge 3\). BKwadrat liczby \(x=5+2\sqrt{3}\) jest równy A.\( 37 \) B.\( 25+4\sqrt{3} \) C.\( 37+20\sqrt{3} \) D.\( 147 \) CRównanie \(\frac{x^2-4}{(x-4)(x+4)}=0\) ma rozwiązań. dokładnie jedno rozwiązanie. dokładnie dwa rozwiązania. dokładnie cztery rozwiązania. CWskaż \(m\), dla którego funkcja liniowa \(f(x)=(m−1)x+6\) jest rosnąca A.\( m=-1 \) B.\( m=0 \) C.\( m=1 \) D.\( m=2 \) DW ciągu arytmetycznym \((a_n)\) mamy: \(a_2=5\) i \(a_4=11\). Oblicz \(a_5\). A.\( 8 \) B.\( 14 \) C.\( 17 \) D.\( 6 \) BW ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=2\) i \(a_2=12\). Wtedy A.\( a_4=26 \) B.\( a_4=432 \) C.\( a_4=32 \) D.\( a_4=2592 \) BKąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{3}{4}\). Wtedy \(\sin \alpha \) jest równy A.\( \frac{1}{4} \) B.\( \frac{\sqrt{3}}{4} \) C.\( \frac{\sqrt{7}}{4} \) D.\( \frac{7}{16} \) CProsta \(l\) ma równanie \(y=-\frac{1}{4}x+7\). Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej \(l\). A.\( y=\frac{1}{4}x+1 \) B.\( y=-\frac{1}{4}x-7 \) C.\( y=4x-1 \) D.\( y=-4x+7 \) CProste o równaniach \(y=2x+3\) oraz \(y=-\frac{1}{3}x+2\) równoległe i różne prostopadłe się pod kątem innym niż prosty się CRozwiąż nierówność \(x^2−14x+24 \gt 0\).\(x\in (-\infty ;2)\cup (12;+\infty )\)Rozwiąż równanie \(x^3−3x^2+2x−6=0\).\(x=3\)Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).\(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?\(v_1=7\) km/h, \(v_2=14\) km/h

która nierówność jest prawdziwa 16 49